聚点和闭包
聚点
导集
闭包
性质
命题 1.1
命题 1.2
命题 1.3
命题 1.4
命题 1.5
命题 1.6
命题 1.7
聚点
A limit point (or cluster point or accumulation point)
wiki:
聚点: Let \(S\) be a subset of a topological space \(X\). A point \(x\) in \(X\) is a limit point or cluster point or accumulation point of a set of \(S\) if every neighbourhood of \(x\) contains at least one point of \(S\) different from \(x\) itself.
书上：\(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集，\(x\in X\)。如果 \(x\) 的每个邻域都含有 \(A-\{x\}\) 中的点，则称 \(x\) 为 \(A\) 的聚点
中文这教材只说聚点，不查还不知道也叫极限点
聚点这定义我越看越眼熟，再加上刚刚看见个回答说 \(\R\) 包含了它所有的极限点
确界原理和开集的关联似乎清楚了一点
导集
Derived set
The collection \(M'\) of all limit points of a set \(M\) in a topological space.
Addition: A set \(M\) that is contained in its derived set is called dense-in-itself; if in addition \(M\) is closed, it is termed a perfect set.
书上：\(A\) 的所有聚点的集合称为 \(A\) 的导集，记作 \(A'\)
闭包
称集合
\[\bar{A} = A\cup A'
\]
为 \(A\) 的闭包。
形象地来看，如果 \(A\) 是一个封闭图形 \(G\) 的内点，那么 \(G\) 的边上的每个点都是 \(A\) 的聚点，边所有点的集合就是 \(G\) 的导集，\(G\) 的内点和边上点的并就是 \(A\) 的闭包。
性质
命题 1.1
\[x\in \bar{A} \iff \forall U(x), U(x) \cap A \ne \emptyset
\]
证明：
左往右
若 \(x\in A\) 显然非空
若 \(x\in \bar{A}\)，\(x\) 是 \(A\) 的聚点，由聚点定义，也非空
右往左
\(x\in A\)，显然左边成立
\(x\notin A\)，则 \(x\) 是 \(A\) 的聚点，所以 \(x\in A'\)，那么左边成立
逆否形式：
\[x\in (\bar{A})^c \iff \exist U(x), U(x) \cap A = \emptyset
\]
命题 1.2
\(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集，那么 \((\bar{A})^c = (A^c)^{\circ}\)
拓扑空间的子集并不都是开集，拓扑的元素才是开集，闭集也是拓扑空间的子集
闭集需要用补集才能与邻域概念联系起来，所以闭集相关的证明几乎都要用逆否取补，然后用这条命题转换为开集与内部的问题
证明：
\[\begin{aligned}
&\forall x \in (\bar{A})^c\\
\to &x \notin \bar{A} \\
\to &\exist U(x), U(x) \cap A = \emptyset \\
\to &U(x) \sub A^c \\
\to &x\in (A^c)^{\circ}
\end{aligned}
\]
反过来
\[\begin{aligned}
&\forall x \in (A^c)^{\circ} \\
\to & \exist U(x) \sub A^c \\
\to & \forall a \in U(x), a \notin A
&(U(x)\cap A =\emptyset)\\
\to & x \notin \bar{A} \\
\to & x \in (\bar{A})^c
\end{aligned}
\]
命题 1.3
\(A\sub B\to \bar{A} \sub \bar{B}\)
证明：
\[\begin{aligned}
&\forall x \in \bar{A}, \forall U(x), \exist a\in U(x) ,a \in A\\
\to & a\in B \\
\to & x \in \bar{B}
\end{aligned}
\]
命题 1.4
\(\bar{A}\) 是所有包含 \(A\) 的闭集的交集，所以是包含 \(A\) 的最小的闭集
证明:
这个证明的精髓在于
内点和邻域的关系
一个开集就是自身的内部
令 \(E=\{S~is~closed~|~A\sub S\}\)
即证
\[\bigcap_{S\in E} S = \bar{A} = A \cup A'
\]
左边 \(\sub\) 右边
即证
\[\begin{aligned}
&\bigcap_{S\in E} S \sub \bar{A} = A \cup A'\\
\iff &(\bar{A})^c \sub \bigcup_{S\in E}S^c
\end{aligned}
\]
\(\forall x\in (\bar{A})^c\)，由命题 1.2 可知，\(x\) 是 \(A^c\) 的内点。
言外之意，\(\exist U(x), U(x) \sub A^c,A\sub (U(x))^c\)
不失一般性，这里可取 \(U(x)\) 为开集，故而 \((U(x))^c\) 为闭集，所以 \((U(x))^c\in E\)
所以
\[x\in U(x) = ((U(x))^c)^c \sub \bigcup_{S\in E}S^c
\]
右边 \(\sub\) 左边
\(\bar{A} = A \cup A'\)，所以首先
\[\begin{aligned}
&\forall S \in E, A\sub S \\
\to & A \sub \bigcap_{S\in E} S
\end{aligned}
\]
下一步证明
\[\begin{aligned}
&A'\sub \bigcap_{S\in E} S \\
\iff & \bigcup_{S\in E} S^c \sub (A')^c & (S^c~is~opened)
\end{aligned}
\]
\(\forall S\in E, A\sub S\to S^c \sub A^c\)
\(\forall x \in S^c\)，\(S^c\) 是开集故而 \(S^c = (S^c)^{\circ}\)，因此 \(\exist U(x)\sub S^c\sub A^c\)
这说明 \(x\notin A'\), 于是得证 😅
命题 1.5
\(\bar{A}=A \iff A\) 是闭集
由命题 1.4 有 \(\bar{A}\) 是闭集，所以左到右显然成立
接下来证右到左，\(\bar{A} = A \iff (\bar{A})^c = A^c\)，由于 \(A, \bar{A}\) 都是闭集，所以 \(A^c, (\bar{A})^c\) 都是开集，由命题 1.2 知 \((\bar{A})^c = (A^c)^{\circ}\) \(=A^c\)，因此得证
命题 1.6
\(\overline{A\cup B} = \bar{A}\cup \bar{B}\)
等价于证明 \((\overline{A\cup B})^c = (\bar{A})^c \cap (\bar{B})^c\),
分别记 \(C = A^c, D = B^c\)，那么等价于证明
\[(C\cap D)^{\circ} = \mathring{C} \cap \mathring{D}
\]
这个证过了
命题 1.7
\(\overline{A\cap B}\sub \bar{A}\cap\bar{B}\)
等价于证明 \((\bar{A})^c \cup (\bar{B})^c \sub (\overline{A\cap B})^c\),
分别记 \(C = A^c, D = B^c\)，那么等价于证明
\[\mathring{C} \cup \mathring{D} \sub (C\cup D)^{\circ}
\]
这个证过了。